Il consiste à ajuster la valeur théorique de Black-Scholes (BSTV) par le coût d`un portefeuille qui couvre trois principaux risques associés à la volatilité de l`option: le Vega V {displaystyle {mathcal {V}}}, le Vanna et la Volga. Le Vanna est la sensibilité de la Vega en ce qui concerne un changement dans le taux de change spot: dans ce chapitre, nous allons jeter un regard plus approfondi sur Vega et ses deux dérivés associés, ainsi que d`examiner la relation de Vega avec gamma. Dans le cadre de ce processus d`exploration, nous introduisons le concept de Shadow gamma et de Vanna – les deux cas de ce que nous pourrions appeler des Grecs croisés. Puisque nous avons maintenant passé suffisamment de temps avec le concept de parcelles de surface, nous ajouterons également une nouvelle dimension, le prix de l`actif sous-jacent, à nos parcelles de surface. La contribution de Vega s`avère être plusieurs ordres de grandeur plus petits que les termes de la Vanna et de la Volga dans toutes les situations pratiques, d`où on le néglige. Vanna, une croix grecque de deuxième ordre, peut être définie comme: il est également possible d`exprimer à la fois Vanna et la Volga en termes de Vega. Compte tenu de cette réplication, la méthode Vanna-Volga ajuste le prix BS d`une option exotique par le coût du sourire de la somme pondérée ci-dessus (Notez que le coût du sourire ATM est nul par construction): la formule de Vega, Vanna & Volga ci-dessus indiquent une liaison directe avec le temps. Contrairement à gamma où les pics gamma avec une réduction du temps pour l`option de l`argent, pour Vega, Volga et Vanna, il est de plus en plus de temps qui donnent la volatilité une occasion d`influer sur la valeur de l`option. Les Grecs de Vega diminueront à mesure que le temps d`expiration s`approchera de zéro. Cela crée des choix différents qui doivent être équilibrés lorsque nous essayons de couvrir gamma et Vega ensemble. La justification de la formulation ci-dessus du prix de Vanna-Volga est qu`on peut extraire le coût du sourire d`une option exotique en mesurant le coût du sourire d`un portefeuille conçu pour couvrir ses risques de Vanna et de Volga. La raison pour laquelle on choisit les stratégies BF et RR pour le faire est parce qu`ils sont des instruments de FX liquide et ils portent principalement la Volga, et les risques de Vanna respectivement.
Les coefficients de pondération w R R {displaystyle w_ {RR}} et w B F {displaystyle w_ {BF}} représentent respectivement la quantité de RR nécessaire pour répliquer l`option Vanna, et la quantité de BF nécessaire pour répliquer la Volga de l`option. L`approche ci-dessus ignore la petite fraction (mais non nulle) de la Volga transportée par le RR et la petite fraction de Vanna transportée par le BF. Il néglige en outre le coût de couverture du risque Vega. Cela a conduit à une formulation plus générale de la méthode de la Vanna-Volga dans laquelle on considère que dans les hypothèses de Black-Scholes, l`option exotique Vega, Vanna et Volga peut être répliquée par la somme pondérée de trois instruments: dans le modèle Black Scholes, Vanna est calculée à l`aide de l`équation suivante: Volga ou volatilité gamma détermine le taux de variation de Vega en raison d`une variation unitaire de la volatilité. La même relation convexité a avec la durée et gamma a avec Delta. Les quantités Ω i {displaystyle Omega _ {i}} peuvent être interprétées comme les prix du marché attachés à un montant unitaire de Vega, Vanna et Volga, respectivement. La correction résultante, cependant, s`avère généralement trop grande. Les praticiens du marché modifient ainsi X V V {displaystyle X ^ {VV}} à Vanna = v. P. {displaystyle {textrm {Vanna}} = {frac {partial {mathcal {V}}} {partial S}}}.
